2026-03-26
浏览量: 0
国家开放大学2024年春季学期期末统一考试 工程数学(本)试题
试卷代号:11080
考试时间:2024年7月
注意事项:
1.将你的学号、姓名及考点名称填写在试题和答题纸的规定栏内。考试结束后,把试题和答题纸放在桌上。试题和答题纸均不得带出考场。待监考人员收完试题和答题纸后方可离开考场。
2.仔细阅读题目的说明,并按题目要求答题。所有答案必须写在答题纸的指定位置上,写在试题上的答案无效。
3.用蓝、黑圆珠笔或钢笔(含签字笔)答题,使用铅笔答题无效。
一、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
设A,B都是n阶可逆方阵,则下列等式中正确的是().
$$A. AB=B$$
$$B. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1$$
$$C. (AB)'=A' B$$
$$D. (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1$$
标准答案：B
设齐次方程组的系数矩阵 $$A=\begin{bmatrix}1 & -1 \\ \lambda & 1\end{bmatrix$$，则$$\lambda=( $$时，该线性方程组有非零解.
A.1 B.0 C.-1 D.2
标准答案：C
已知矩阵 $$A=\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix$$ 的特征值为-1和4，$$A^{-1$$ 的特征值为()
$$A. -1, \frac{1}{4$$
B.-1,4
$$D. 1,-\frac{1}{4$$
标准答案：A
设袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,则2个球恰好不同色的概率是().
$$A. \frac{7}{10$$
$$B. \frac{2}{5$$
$$C. \frac{4}{5$$
$$D. \frac{3}{5$$
标准答案：D
设 $$x_{1},x_{2},\dots,x_{n$$ 是来自正态总体 $$N(\mu, \sigma^{2})(\mu, \sigma^{2$$ 均未知)的样本,则( )是统计量.
$$A. \overline{x}+\m$$
$$B. \mu x_{1$$
$$C. x_{1$$
$$D. \frac{x_{1}-\mu}{\sigma$$
标准答案：C
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
设三阶矩阵 A 的行列式 $$|A|=$$ ,则 $$|2 A^{-1}|$$
标准答案：4
向量组[1,2,3],[1,2,0],[1,0,0]的秩是
标准答案：3
若 $$P(A)=0.$$，$$P(B)=0.$$ ,且事件 A 与B互不相容,则 $$P(A+B)$$
标准答案：0.7
设随机变量 $$X ~ B(20,0.4$$ 则 $$E(X)$$
标准答案：8
若参数 θ 的两个无偏估计量 $$\theta_{1$$ 和 $$\theta_{2$$ 满足____,则称 $$\theta_{1$$ 比 $$\theta_{2$$ 更有效。
标准答案：$$D(\theta_{1})
三、计算题(本题共4小题,每小题16分,共64分)
设 $$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3\end{bmatrix$$，$$B=\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix$$，$$XA=$$，求X。
标准答案：
解:利用初等行变换求A的逆矩阵
$$[A \vdots I]=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right] \to\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right] \to\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right$$
因此, $$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\ -1 & 1\end{array}\right$$ (10分)
于是由矩阵乘法可得
$$X=B A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\ -1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5 & -4 \\ 8 & -5 \\ 3 & -2\end{array}\right$$ (16分)
注:用伴随矩阵法求 $$A^{-1$$ 正确也可得分。
当 λ 取何值时,非齐次线性方程组
$$\left{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ -x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}=2 \\ 2 x_{1}+5 x_{2}-x_{3}=\lambda \end{array}\right$$
有解?在有解的情况下求方程组的通解.
标准答案：
解:将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形
$$[A \vdots B]=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -4 & 2 \\ 2 & 5 & -1 & \lambda \end{array}\right] \to\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 & \lambda-2 \end{array}\right] \to\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-5\end{array}\right$$
由阶梯矩阵可知:当 $$\lambda=$$ 时,方程组有解 (7分)
此时方程组的一般解为
$$\begin{cases} x_{1}=-2 x_{3} \\ x_{2}=x_{3}+1 \end{cases$$ (其中 $$x_{3$$ 是自由未知数) (10分)
令 $$x_{3}=$$, 得方程组的一个特解 $$X_{0}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right]$$ (12分)
不计最后一列,令 $$x_{3}=$$ 得相应的齐次线性方程组的一个基础解系
$$X_{1}=\left[\begin{array}{lll}-2 & 1 & 1\end{array}\right]$$ (14分)
于是,方程组的通解为 $$X_{0}+k X_{1$$ (其中k为任意常数) (16分)
设 $$X ~ N(3,2^{2}$$ ,试求: $$(1) P(X<5$$ ; $$(2) P(X>9$$
(已知 $$\Phi(1)=0.8413, \Phi(2)=0.9772, \Phi(3)=0.998$$ ).
标准答案：
解: (1) $$P(X<5)=P\left(\frac{X-3}{2}<\frac{5-3}{2}\right)=P\left(\frac{X-3}{2}<1\right)=\Phi(1)=0.841$$ (8分)
(2) $$P(X>9)=1-P(X \leq 9)=1-P\left(\frac{X-3}{2} \leq \frac{9-3}{2}\right)=1-P\left(\frac{X-3}{2} \leq 3\right)=1-\Phi(3)=1-0.9987=0.001$$ (16分)
为了对完成某项工作所需时间建立一个标准,工厂随机调查了16名工人分别去完成这项工作所需的时间,结果得到他们所需的平均时间为15分钟,样本标准差为3分钟,假设完成这项工作所需的时间服从正态分布,在标准差不变的情况下,试确定完成此项工作所需平均时间的置信度为0.95的置信区间(已知 $$u_{0.975}=1.9$$ ).
标准答案：
解:由于已知 σ ,故选取样本函数
$$U=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1$$ (5分)
完成此项工作所需平均时间的置信度为0.95的置信区间为
$$\left[\overline{x}-u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right$$ (10分)
由已知，$$\bar{x}=1$$，$$\sigma=$$，$$n=1$$，$$u_{0.975}=1.9$$，于是可得
$$\overline{x}-u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=15-1.96 × \frac{3}{\sqrt{16}}=13.5$$
$$\overline{x}+u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=15+1.96 × \frac{3}{\sqrt{16}}=16.4$$
因此,完成此项工作所需平均时间的置信度为0.95的置信区间为[13.53,16.47] (16分)
四、证明题(本题6分)
设 n 阶方阵 A 满足 $$A^{2}+A-I=$$ ,试证矩阵 A 可逆.
标准答案：
证明:由 $$A^{2}+A-I=$$ 可得
$$A(A+I)=(A+I) A=$$
根据可逆矩阵的定义，矩阵A可逆，其逆矩阵为 $$A+$$ (6分)
