微积分基础大作业

作业要求：从方案一和方案二中任意选择一项方案完成，提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：

1. 将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档．

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

方案一

完成下列题目，要求写出解题过程，满分100分

1.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（12分）

2.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？（12分）

3.用钢板焊接一个容积为4立方米的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？（12分）

4.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？（12分）

5.设有一块边长为30厘米的正方形铁皮，从它的四角截去同样大小的正方形，做成一个无盖方盒子，问截去的小正方形为多大才能使做成的方盒子容量最大？（12分）

6.求抛物线与直线所围成图形的面积.（12分）

7.计算曲线与所围成的平面图形绕轴旋转得到的旋转体的体积.（12分）

8.随着经济的高速增长，环境污染问题备受关注.经测量知，某水库目前的污染物总量已达（单位：），且污染物均匀地分散在水中.如果不再向水库排污，则清水以不变的速度（单位：/年）流入水库，并立即与水库中的水混合，水库中的水又以同样的速度流出.若记当前的时刻为

（1）求时刻水库中残留污染物的数量;（10分）

（2）问需要多少年，才能使水库中污染物的数量降至原来的10%.（6分）

方案二

参照教材第3章导数的应用和第5章积分的应用内的各案例，从生活和工作中选择一个实际问题，抽象提炼出其中的数学问题，并使用本门课程学到的微积分知识加以解决。要求至少包含背景介绍、问题提出、问题解答、涉及知识简述等内容，满分100分。