国家开放大学2023年秋季学期期末统一考试 软件数学基础试题（含答案）

试卷代号：11450　　考试时间：2024年1月

注意事项

1. 将你的学号、姓名及考点名称填写在试题和答题纸的规定栏内。考试结束后，把试题和答题纸放在桌上。试题和答题纸均不得带出考场。待监考人员收完试题和答题纸后方可离开考场。

2. 仔细阅读题目的说明，并按题目要求答题。所有答案必须写在答题纸的指定位置上，写在试题上的答案无效。

3. 用蓝、黑圆珠笔或钢笔（含签字笔）答题，使用铅笔答题无效。

附件下载：

20240111450.pdf

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 设函数 \(f(x-1)=x^{2}-x\)，则 \(f(x)=(\ )\)。

A. \(x^{2}+x+1\)

B. \(x^{2}+x\)

C. \(x^{2}+x-1\)

D. \(x^{2}+1\)

标准答案：B

2. 设A,B为同阶方阵，则下列命题正确的是( )。

A. 若 \(AB=E\)，则 \(A=E\) 或 \(B=E\)

B. \((AB)^{\top}=A^{\top} B^{\top}\)

C. 若 \(AB=O\)，则 \(A=O\) 或 \(B=O\)

D. 若 \(AB=E\)，则 \(BA=E\)

标准答案：D

3. 设集合 \(A=\{a, b, c\}\)，则下列关系中只有()是 A 上的等价关系。

A. \(R=\{(a, b),(b, c),(a, c)\}\)

B. \(R=\{(a, b),(b, a),(a, a)\}\)

C. \(R=\{(a, a),(b, b),(c, c)\}\)

D. \(R=\{(a, b),(b, a),(a, a),(a, c),(c, a),(c, c)\}\)

标准答案：C

4. 设 P 表示"今天下雨"，Q 表示"小明去学校"。那么命题："虽然今天下雨，但小明仍然坚持去学校"可符号化为( )。

A. \(P \Lambda Q\)

B. \(P \vee Q\)

C. \(\neg P \Lambda Q\)

D. \(\neg P \Lambda \neg Q\)

标准答案：A

5. 设 A , B 为两个事件，则下列等式中正确的是( )。

A. \((A+B)-B=A\)

B. \((A-B)+B=A\)

C. \(A=AB+A\overline{B}\)

D. \(A+B=A+AB\)

标准答案：C

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. \(\lim\limits_{x \to \infty}\left(1+\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=\)

标准答案：\(\sqrt{e}\)

7. 若 \(\int f(x) d x=x^{2} e^{x}+C\)，则 \(f(x)=\)

标准答案：\(e^x(x^2+2x)\)

8. 设 \(A=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 5\end{bmatrix}\)，\(A^{-1}=\)

标准答案：\(\begin{bmatrix}-5 & 3 \\ 2 & -1\end{bmatrix}\)

9. 设 \(A=\{2,3,5\}\)，\(B=\{6,9,15,25\}\)，\(R=\{(x, y)| x \in A,\ y \in B,\ y=x^{2}\}\) 是从 A 到B的二元关系，则 R 所包含的有序对为

标准答案：(3,9)、(5,25)

10. 掷两颗均匀的骰子，事件"点数和为5"的概率为

标准答案：\(\dfrac{1}{9}\)

三、计算题（每小题14分，共70分）

11. 设函数 \(y=x \sqrt{x}-\sin ^{2} x\)，求 \(dy\)。

标准答案：

解：整理函数：\(y=x^\frac{3}{2}-\sin^2 x\)

求导得：\(y'=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-2\sin x \cos x\)

由微分公式 \(dy=y'dx\)，可得：

\(dy=\left(\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-\sin2x\right)dx

12. 计算积分 \(\displaystyle \int_{0}^{1} x e^{x} d x\)

标准答案：

解：利用分部积分法：\(\int_{0}^{1} x e^{x} d x=\left.x e^{x}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} e^{x} d x\)

代入上下限计算：

\(=e-\left.e^{x}\right|_{0} ^{1}=e-(e-1)=1\)

13. 设线性方程组

\[

\begin{cases}

x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=1 \\

2 x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=2 \\

3 x_{1}+7 x_{2}+4 x_{3}=a

\end{cases}

\]

试讨论a为何值时方程组有解？有解时求一般解。

标准答案：

解：对方程组增广矩阵做初等行变换：

\[

\overline{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\

2 & 5 & 3 & 2 \\

3 & 7 & 4 & a

\end{pmatrix}

\to

\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & a-3

\end{pmatrix}

\to

\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & a-3

\end{pmatrix}

\]

当 \(a-3=0\)，即 \(a=3\) 时，秩(A)=秩(\(\overline{A}\))=2，方程组有无穷多解。

化简同解方程组：

\(\begin{cases}x_1-x_3=1\\x_2+x_3=0\end{cases}\)

取自由未知量 \(x_3=c\)（\(c\) 为任意常数）

方程组一般解：\(\begin{cases}x_1=1+c\\x_2=-c\\x_3=c\end{cases}\)

14. 某单位对80名员工进行健康体检，结果发现其中有35人超重，20人有颈椎问题，既超重又有颈椎问题的员工有13人，求既不超重又无颈椎问题的员工人数。

标准答案：

解：设全集 \(S\) 为全体体检员工，集合 \(A\) 为超重员工，集合 \(B\) 为有颈椎问题员工。

已知：\(|S|=80，|A|=35，|B|=20，|A\cap B|=13\)

根据容斥原理：

\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=35+20-13=42\)

既不超重也无颈椎问题人数：

\(|\overline{A\cup B}|=|S|-|A\cup B|=80-42=38\)

答：既不超重又无颈椎问题的员工有38人。

15. 设 A、B 是两个随机事件，已知 \(P(A)=0.4\)，\(P(A+B)=0.85\)，\(P(A \bar{B})=0.3\)，计算 \(P(B)\)。

标准答案：

解：由事件运算性质：\(P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=0.4-0.3=0.1\)

根据概率加法公式：\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

变形求解：

\(P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.4+0.1=0.55\)

答：\(P(B)=0.55\)