福师《线性代数》在线作业一

试卷总分:100  得分:100

一、单选题 (共 10 道试题,共 30 分)

1.A、B均为n阶方阵，则必有（ ）

A.det(A)det(B)=det(B)det(A)

B.det(A+B)=det(A)+det(B)

C.(A+B)的转置=A+B

D.(AB)的转置＝A的转置乘以B的转置

2.已知向量组α,β,γ线性无关,向量组β,γ,ε线性相关,则（ ）.

A.α一定可由β,γ,ε线性表示

B.β一定可由α,γ,ε线性表示

C.γ一定可由α,β,ε线性表示

D.ε一定可由α,β,γ线性表示

3.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ ）

A.|A|=1

B.|A|=0

C.|A|≠0

D.A=0

4.设A为4×5矩阵，则A的秩最大为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知三阶矩阵A第一行为1,1,0，第二行为1,0，1，第三行为0,1,1，则A的特征值为（ ）

A.1,0,1

B.1,1,2

C.-1,1,2

D.-1,1,1

6.A为m*n矩阵，若任意的n维列向量都是Ax=0的解，那么（ ）

A.A=0

B.0<r(A)<n

C.r(A)=n

D.r(A)=m

7.如果矩阵A满足A^2=A，则( )

A.A=0

B.A=E

C.A=0或A=E

D.A不可逆或A-E不可逆

8.设A为3阶方阵，且行列式det(A)= 1/2 ,则det(-2A)= （ ）

A.2

B.1

C.-4

D.4

9.设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。

A.a1-a2,a2-a3,a3-a1

B.a1,a2,a3+a1

C.a1,a2,2a1-3a2

D.a2,a3,2a2+a3

10.设A，B为n阶方阵，且线性方程组BX=0只有零解，若r(A)=3，则r(AB)=（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1

二、多选题 (共 10 道试题,共 40 分)

11.设A，B均为n阶方阵，则下列选项错误的有（ ）

A.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0

B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

C.当AB=O时，有A=O或B=O

D.(AB)^-1=B^-1A^-1

12.设A,B均为对称矩阵，则下列说法正确的是（ )

A.A+B必为对称阵

B.AB必为对称阵

C.A-B不一定为对称阵

D.若A+B的平方为零矩阵，则A+B=0

13.如果矩阵A的秩等于r，则下列说法正确的有（ ）

A.至多有一个r阶子式不为零

B.所有r阶子式都不为零

C.至少有一个r阶子式不为零

D.所有r+1阶子式全为零

14.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）

A.η1+η2是Ax=b的一个解

B.（1/2）η1+（1/2）η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

D.2η1-η2是Ax=0的一个解

15.n阶矩阵A与B相似, 则下列结论中正确的是( )

A.A与B有相同的迹

B.A与B有相同的特征根

C.A与B有相同的特征向量

D.A与B的行列式相同

16.设A3*2，B2*3，C3*3，则下列( )运算有意义

A.AC

B.BC

C.A+B

D.AB

17.下列关于初等变换和初等矩阵，说法正确的有（ ）

A.初等变换不改变矩阵的秩

B.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵

C.如果初等矩阵可逆，则其逆矩阵也是初等矩阵

D.任意一个m*n矩阵都可以经过一系列初等行变换化为一个m*n阶梯形矩阵

18.设A，B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是( )．

A.(A+B)(A-B) = A^2-B^2

B.(AB)^-1 = B^-1A^-1

C.若AB=O, 则A=O或B=O不一定成立

D.|AB| = |A| |B|

19.n阶方阵A可逆的充分必要条件有（ ）

A.|A|≠0

B.A的特征值都不为0

C.r(A)=n

D.A的列（行）向量组线性无关。

20.下列命题错误的有（ ）

A.任意n个n+1维向量线性相关

B.任意n个n+1维向量线性无关

C.任意n+1个n维向量线性相关

D.任意n+1个n维向量线性无关

三、判断题 (共 10 道试题,共 30 分)

21.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A^2的特征值为1，1，4。

22.如果r(A)=r，A中有秩不等于零的r阶子式。

23.矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。

24.相似矩阵有相同的特征多项式。

25.设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|=1。

26.秩为0的矩阵只有零矩阵。

27.四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4。

28.设向量a=(-1,0,1,2)，b=(1,0,1,0)，则2a+3b=(1,1,1,1)。

29.交换行列式的两列，行列式的值不变。

30.向量组a1=(1,-1,1),a2=(2,k,0),a3=(1,2,0)线性相关，则k=1。