福师《线性代数》在线作业二

试卷总分:100  得分:100

一、单选题 (共 10 道试题,共 30 分)

1.若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

A.线性相关

B.线性无关

C.可能线性相关，可能线性无关

D.不能判断相关性

2.若矩阵A，B满足 AB=O，则有（ ）.

A.A=O或B=O

B.A+B=O

C.A=O且B=O

D.|A|=O或|B|=O

3.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为（ ）

A.1

B.-1

C.-2

D.4

4.n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个 ( )

A.互不相同的特征值

B.互不相同的特征向量

C.线性无关的特征向量

D.两两正交的特征向量

5.如果矩阵A满足A^2=A，则( )

A.A=0

B.A=E

C.A=0或A=E

D.A不可逆或A-E不可逆

6.若A为6阶矩阵，齐次线性方程组AX=0的基础解系中解向量的个数为2，则矩阵A的秩为（ ）

A.5

B.4

C.3

D.2

7.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（ ）。

A.充分必要条件；

B.必要而非充分条件；

C.充分而非必要条件；

D.既非充分也非必要条件

8.设A为4×5矩阵，则A的秩最大为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

9.设A为可逆矩阵，则与A有相同特征值的矩阵为（ ）

A.A的转置

B.A的平方

C.A的逆矩阵

D.A的伴随矩阵

10.设A是上三角矩阵，那么A可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ ）

A.全都非负

B.不全为零

C.全不为零

D.没有限制

二、多选题 (共 10 道试题,共 40 分)

11.设A,B均为n阶方阵，则下列说法正确的有（ ）

A.若A,B均可逆，则A+B可逆

B.若A,B均可逆，则AB可逆

C.若A,B均可逆，则A-B可逆

D.若AB可逆，则A，B可逆

12.下列关于矩阵的秩，说法正确的有（ ）.

A.矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩

B.矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩

C.一个n阶方阵的不同特征值对应的特征向量线型无关

D.相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值

13.n阶矩阵A与B相似, 则下列结论中正确的是( )

A.A与B有相同的迹

B.A与B有相同的特征根

C.A与B有相同的特征向量

D.A与B的行列式相同

14.设A，B均为n阶方阵，则下列选项错误的有（ ）

A.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0

B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

C.当AB=O时，有A=O或B=O

D.(AB)^-1=B^-1A^-1

15.设A是n阶可逆矩阵，则下列命题正确的有（ ）

A.|A|≠0

B.A的秩小于n

C.存在n阶矩阵B，使得AB=E(单位矩阵）

D.A必能表示为有限个初等矩阵的乘积

16.下列命题错误的有（ ）

A.任意n个n+1维向量线性相关

B.任意n个n+1维向量线性无关

C.任意n+1个n维向量线性相关

D.任意n+1个n维向量线性无关

17.如果矩阵A的秩等于r，则下列说法正确的有（ ）

A.至多有一个r阶子式不为零

B.所有r阶子式都不为零

C.至少有一个r阶子式不为零

D.所有r+1阶子式全为零

18.设n阶方阵A满足A^2-E=0 ，其中E是n阶单位矩阵，则必有（ ）

A.A=E

B.A=-E

C.A等于A逆

D.det(A)=1或-1

19.设3阶矩阵A的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的有（ ）.

A.A的3个列向量必线性无关

B.A的3个列向量必线性相关

C.A的秩为3

D.A的行列式不为零

20.下列关于初等变换和初等矩阵，说法正确的有（ ）

A.初等变换不改变矩阵的秩

B.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵

C.如果初等矩阵可逆，则其逆矩阵也是初等矩阵

D.任意一个m*n矩阵都可以经过一系列初等行变换化为一个m*n阶梯形矩阵

三、判断题 (共 10 道试题,共 30 分)

21.只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵。

22.四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4。

23.矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。

24.一个行列式的某一行元素全部相等，它的值一定为0 。

25.设6阶方阵A的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。

26.若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于r。

27.两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。

28.A,B都是n阶可逆方阵，则AB也可逆。

29.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -10 。

30.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量。