2024-10-08
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形考任务1 常微分方程网上学习问答（占形考总分的10分）
试卷总分:100 得分:100
1.本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（ ）．
A.基本定理
B.定性和稳定性理论简介
C.一阶线性微分方程组
D.初等积分法
2.本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（ ）．
A.初等积分法中的方程可积类型的判断
B.第一章初等积分法的形成性考核书面作业
C.第二章基本定理的形成性考核书面作业
D.第一章至第四章的单项选择题
3.网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（ ）．
A.课程公告
B.课程信息
C.自主学习
D.系统学习
4.网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（ ）．
A.分离变量法
B.常数变易法
C.一阶隐式微分方程
D.全微分方程与积分因子
5.网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（ ）讲．
A.17
B.18
C.19
D.20
6.网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（ ）．
A.各章练习汇总
B.模拟测试
C.复习指导
D.考核说明
7.请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．
形考任务2 初等积分法中的方程可积类型的判断
活动名称：初等积分法中的方程可积类型的判断
活动内容：判断下列微分方程的可积类型，并说明理由。（您需要看样题吗，请查看样题）
提示：初等积分法中的方程可积类型如下：
变量可分离方程、齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程、伯努利方程、全微分方程、一阶隐式微分方程、克莱洛方程、可降阶的高阶方程、恰当导数方程
1.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
2.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
3.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
4.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页 3 方程的定义可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
5.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
6.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
7.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
8.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
9.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
10.
答： 1 方程
理由：由教材第 2 页公式 3 可以判定．
填空题 (10 分) 0 分 (请按题目中的空缺顺序依次填写答案)
活动名称：初等积分法中的方程可积类型的判断
活动内容：判断下列微分方程的可积类型，并说明理由。（您需要看样题吗，请点击样题）
提示：初等积分法中的方程可积类型如下：
变量可分离方程、齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程、伯努利方程、全微分方程、一阶隐式微分方程、克莱洛方程、可降阶的高阶方程、恰当导数方程
形考任务3 第一章初等积分法的综合练习
常微分方程学习活动3
第一章 初等积分法的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．微分方程 是 阶微分方程．
2．初值问题的解所满足的积分方程是 ．
3．微分方程是 ．（就方程可积类型而言）
4．微分方程是 ．（就方程可积类型而言）
5．微分方程是 ．（就方程可积类型而言）
6．微分方程的所有常数解是 ．
7．微分方程的常数解是 ．
8．微分方程的通解为 ．
9．微分方程的通解是 ．.
10．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线．
二、计算题
1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：
（1）
（2）
（3）
2．用分离变量法求解下列方程：
（1）
（2）
（3）
3．解下列齐次线性微分方程
（1）
（2）
4．解下列一阶线性微分方程：
（1）
（2）
5．解下列伯努利方程
（1）
（2）
6．解下列全微分方程：
（1）
（2）
7．求下列方程的积分因子和积分：
（1）
（2）
8．求解下列一阶隐式微分方程
（1）
（2）
9．求解下列方程
（1）
（2）
三、证明题
1．设函数，在上连续，且， （a, b为常数）．求证：方程 的一切解在上有界．
2．设在上连续，且，求证：方程
的一切解，均有．
四、应用题
1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为, 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到所需的时间.
2．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：
（1）物体运动的微分方程；
（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．
参考解答
一、填空题
1．二 2． 3．一阶线性非齐次微分方程 4．全微分方程
5．恰当导数方程 6． 7．
8． 9． 10．二
二、计算题
1．（1）一阶，非线性；（2）四阶，线性； （3) 三阶，非线性.
2．（1）解 通积分为
（2）解 当时，分离变量，两端取积分得
即
通积分为
另外，是常数解，
注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。
（3）解 当时, 方程可变为 ，
通积分为 或 ,
上式代入初值条件.
得. 于是初值问题解为 .
3．（1）解 显然是方程的解.
当时, 原方程可化为 . 令, 则原方程可化为
, 即
易于看出, 是上面方程的解, 从而 是原方程的解.
当时, 分离变量得, . 两端积分得(C)
将换成, 便得到原方程的解 , (C).
故原方程的通解为（为任意常数）及 .
（2）解 显然是方程的解.
当时, 原方程可化为 . 令, 则原方程可化为
, 即
易于看出, 是上式的解, 从而是原方程的解.
当时, 分离变量得, . 两端积分得 (C).
将换成, 便得到原方程的解 (C). 故原方程的通解为 .
4．（1）解 先解齐次方程 . 其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得.
积分得到 .
代回后即得原方程通解为 .
（2）解 先解齐次方程 . 其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得 .
积分得到 .
代回后即得原方程通解为 .
5．（1）解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得
.
令, 代入有 它的解为
于是原方程的解为，及
（2）解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得
.
令, 代入有
它的解为 ，
于是原方程的解， 及
6．（1）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为
,
即 .
（2）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为
,
即 .
7．（1）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子.
由公式（1. 58）得积分因子，即
于是方程 为全微分方程.取 . 于是方程的通积分为. 即 .
（2）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 解方程
由公式（1. 58）得积分因子，即
于是方程 为全微分方程. 取 . 于是通积分为. 即.
8．（1）解 将方程改写为
即或
解得通积分为：,
又是常数解.
（2）解 显然是方程的解. 当时, 方程可变为
, 令,
则上面的式子可变为
. 解出u得, . 即 .
对上式两端积分得到方程的通解为
9．（1）解 令 , 则. 代入原式得.
解出得 .
这是克莱洛方程，通解为 .
即 .
解之得 （为任意常数）.
（2）解 化简得 ， 即
求积分得 .
.
三、证明题
1．证明 设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0, 则
由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时 有
令，则
于是得到
又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取 ，
则
2．证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为
取极限
=
四、应用题
1． 解 设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题
其中为常数．
解得
设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得
解得 52分钟.
2．解 取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设 时刻速度为 , 距离为, 由题意满足初值问题
解得
再由解得
于是得到5秒后， ， , ．
形考任务4 第二章基本定理的综合练习
常微分方程学习活动4
第二章 基本定理的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1. 方程 的任一非零解 与x轴相交．
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．
3. 方程+ ysinx = ex的任一解的存在区间必是 ．
4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 ．
5．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
7．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
8．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
9．方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ．
10．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．
二、计算题
1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？
（1） （2）
2．讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过的一切解．
3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．
（1） （2）
三、证明题
1．试证明：对于任意的及满足条件的，方程的解在上存在．
2．设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义．
3．设在区间上连续．试证明方程
的所有解的存在区间必为．
4．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．
5．假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有 <成立．
6．设是方程
的非零解，其中在上连续．求证：当时，必有．
7．设在上连续可微，求证：对任意的，，方程
满足初值条件的解必在上存在．
8．证明：一阶微分方程
的任一解的存在区间必是．
四、应用题
1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为1．
2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数．
参考解答
一、填空题
1．不能 2．充分 3. (-∞,+∞) 4．开区间 5．平面
6．平面 7．平面 8．，（或不含x 轴的上半平面）
9．全平面 10．开
二、计算题
1．解 （1) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一.
（2) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一.
2．解 因为方程在整个平面上连续, 除轴外, 在整个平面上有界, 所以除轴外在整个平面上都满足定理2.1的条件. 而后分离变量并积分可求出方程的通解为 其中 另外容易验证是方程的特解. 因此通过的解有无穷多个, 分别是:
3．解 （1) 因为在半平面上连续, 当时无界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程无奇解.
（2) 因为在的区域上连续, 当时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是 显然是方程的解, 是否为奇解还需要进一步讨论. 为此先求出方程的通解 由此可见对于轴上点 存在通过该点的两个解: 及 故是奇解. (如图2-2所示)
三、证明题
1．证明 首先和是方程在的解. 易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件. 现在考虑过初值 ()的解, 根据唯一性, 该解不能穿过直线和. 因此只有可能向左右两侧延展, 从而该初值解应在上存在.
2．证明 不妨设过点分别作直线
和 .
设过点的初值解为. 因为, 故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下, 之上.
下证曲线不能与直线相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾证明曲线不能与直线相交. 同理可证, 当时, 它也不能与相交. 故当 时解曲线位于直线, 之间.
同理可证, 当时, 解曲线也位于直线, 之间. 由延展定理, 的存在区间为。
3．证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．
显然 是方程的两个常数解．
任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．
4．证明 由已知条件可知，该方程在整个 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 ．
对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．
若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为．
5．证明 仅证方向，（反之亦然）．
假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾）．
令=-，那么
=-< 0， =-> 0
由连续函数介值定理，存在，使得
=-= 0
即 =
这与解惟一矛盾
6．证明 由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件．
设是方程的一个非零解，假如它满足
，，
由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾．
7．证明 该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理．
又 是该方程的两个常数解．
现取，，记过点的解为．一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是．
8．证明 方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又是方程的常数解．
对平面上任取的
若则对应的是常数解其存在区间显然是
若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是．
四、应用题
1．解 首先, 由解析几何知识可知, 满足 的直线
都是所求曲线.
设 (x, y) 为所求曲线上的点，(X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为
.
显然有 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故
.
解出y, 得到克莱洛方程
,
通解为
所以 , 即 为所求曲线方程.
2．解 设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为
.
显然有 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故
,
即. 解出得
故曲线的方程为
消去即的曲线方程为 .
形考任务5 第一章至第四章的单项选择题（占形考总分的10分）
试卷总分:100 得分:100
1.微分方程{图}的通解是（ ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
2.方程{图}在xoy平面上任一点的解都（ ）．
A.与x轴相切
B.不是惟一的
C.是惟一的
D.与x轴相交
3.方程{图}，过点（0, 0）有（ ）．
A.三个解
B.两个解
C.无数个解
D.一个解
4.若在全平面上连续且对满足李普希兹条件，那么方程的任一解的存在区间（ ）．
A.必为{图}
B.因解而定
C.必为{图}
D.必为{图}
5.方程{图}（ ）．
A.有奇解{图}
B.有奇解{图}
C.无奇解
D.有奇解y = -1
6.一阶线性非齐次方程组的任意两个非零解之差（ ）．
A.是原方程组的一个解.
B.不是其对应齐次方程组的解.
C.是其对应齐次方程组的解.
D.是原方程组的通解.
7.n维方程组{图}的任一解的图像是n+1维空间{图}中的（ ）．
A.n条曲线
B.n个曲面
C.一条曲线
D.一个曲面
8.方程{图}的任一非零解在{图}平面上（ ）零点．
A.有无穷多个
B.只有两个
C.只有一个
D.无
9.方程{图}的任一解的最大存在区间必为（ ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
10.方程{图}的任一解的最大存在区间一定是（ ）．
A.{图}
B.{图}
C.{图}
D.{图}
常微分方程学习活动6
第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．若A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组，的任一非零解在空间 与x轴相交．
2．方程组的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线．
3．向量函数组Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)线性相关的 条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0．
4．线性齐次微分方程组，的一个基本解组的个数不能多于 个．
5．若函数组在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区间上 ．
6．函数组的朗斯基行列式是 ．
7．二阶方程的等价方程组是 ．
8．若和是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 共同零点．
9．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 ．
10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．
11．在方程y″+ p(x)y′+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上 与x轴横截相交．
12．二阶线性方程的基本解组是 ．
13．线性方程的基本解组是 ．
14．方程的所有解构成一个 维线性空间．
15．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
二、计算题
1．将下列方程式化为一阶方程组
（1）
（2）
2．求解下列方程组：
（1） （2）
3．求解下列方程组：
（1） （2）
4．求解下列方程组：
（1） （2）
5．已知方程的一个解，求其通解．
6．试求下列n阶常系数线性齐次方程的通解
（1） （2）
7．试求下述各方程满足给定的初始条件的解：
（1），，
（2），，
8．求下列n阶常系数线性非齐次方程的通解：
（1）
（2）
三、证明题
1．设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组 与有相同的基本解组，则º．
2．设在方程中，在区间上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间上严格单调函数．
3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．
四、应用题
1．一质量为m的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。
参考解答
一填空题
1．不能 2．n + 1 3．必要 4．n + 1 5．恒等于零 6． 7． 8．没有 9．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 10． 11．可以 12． 13． 14．2 15．n
二、计算题
1．（1） 解 ， （2）解
2．（1） 解 方程组的系数阵为 特征方程为：
det(A-E)= =，
其特征根为 .
当时,， 其中a, b满足
(A-E)= = 0,
则有a + b = 0． 取a = 1, b =1, 则得一特解
同理,当时，
所以方程组的解为
（2）解 方程组的系数阵为 .
特征方程为: det(A-E)= =
特征根为 .
当时, 其中a, b满足
(A-E)= =0,
故有 即 .
取，于是方程组对应于
=
故特征根所对应的实解为
=,=
所以方程组的解为
=
3．（1）解 方程组的系数阵为 .
特征方程为: det(A-E)= =
特征根为
当时, 其中a, b满足( = 0,
即
第一个方程有
令，则
于是由
解得通解 = .
（2） 解 系数阵为
特征方程为: det(A-E)==.
特征根为 .
通解解为 .
4．解 方程组的系数阵为 ，其特征方程为：
det(A-E)= =.
特征根为 , 方程组有如下形式的解:
代入原方程组有
消去得
令 , 则
令 , 则
所以方程组的解为
（2）解 首先求出相应齐次线性方程组的通解. 对应齐次方程的系数阵为 .
其特征方程为： det(A-E)= =.
特征根为
当时，，其中a, b满足(A-E)= =0, 则有ab = 0
取a = b =1, 则得一特解
同理,当时，
所以对应齐次线性方程组的通解为
然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.
将代入原方程组，得
解得 .
原方程组的特解为
所以原方程组的通解为
5．解 由通解公式，，
6．（1） 解 特征方程为:
特征根为:。它们对应的解为:
方程通解为:.
（2） 解 特征方程为:
特征根为:
它们对应的解为:
方程通解为: .
7．（1） 解 特征方程为:.
特征根为:，方程通解为:
由初始条件有:,解得.
所以方程的初值解为:.
（2）解 特征方程为:.
特征根为: ，方程通解为:
由初始条件有:,解得.
所以方程的初值解为:.
8．（1）解 由于 ，，
故齐次方程的通解为 .
由于不是特征根，故已知方程有形如 的特解.
将它代入原方程，得, ，
所求通解为.
（2）解 由于，
.
因为不是特征根，故已知方程有形如
的特解．将上式代入原方程，可得
，
所求通解为
.
三、证明题
1．证明 设为基本解矩阵, 因为基本解矩阵是可逆的,
故有
于是.
2．证明 设w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式，则且有，.又因为在区间上连续且恒不为零,从而对,或,所以,在上恒正或恒负,即w(x)为严格单调函数.
3．证明 设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为
，，且，
所以有.
四、应用题
解 设液体的反作用与质点速度的比例系数为
则指点的运动满足方程：
即
则(*)所对应的齐次方程的通解为：
又是齐次方程的特征根,故特解形式为：
代入(*)式得：
所以
由得
故
