国家开放大学2023年秋季学期期末统一考试 工程数学（本）试题（含标准答案）

试卷代号：11080　　考试时间：2024年1月

注意事项

1. 将你的学号、姓名及考点名称填写在试题和答题纸的规定栏内。考试结束后，把试题和答题纸放在桌上。试题和答题纸均不得带出考场。待监考人员收完试题和答题纸后方可离开考场。

2. 仔细阅读题目的说明，并按题目要求答题。所有答案必须写在答题纸的指定位置上，写在试题上的答案无效。

3. 用蓝、黑圆珠笔或钢笔（含签字笔）答题，使用铅笔答题无效。

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20240111080.pdf

一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设 A , B 均为n阶方阵，则下列命题中正确的是()。

A. 若 $$AB=O$$，则 $$A=O$$ 或 $$B=O$$

B. 若 $$AB=I$$，则 $$A=I$$ 或 $$B=I$$

C. $$|AB|=|A||B|$$

D. $$AB=BA$$

标准答案：C

2. 设 A 与 $$[A:B]$$ 分别代表非齐次线性方程组$$AX=B$$ 的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则()。

A. $$r(A)=r([A \vdots B])$$

B. $$r(A)

C. $$r(A)>r([A \vdots B])$$

D. $$r(A)=r([A \vdots B])-1$$

标准答案：A

3. 矩阵 $$A=\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}$$ 的特征值为()。

A. -1，2

B. -1，4

C. 1，-1

D. 1，4

标准答案：B

4. 掷两颗均匀的骰子，事件"点数之和为5"的概率是()。

A. $$\frac{1}{36}$$

B. $$\frac{1}{18}$$

C. $$\frac{1}{12}$$

D. $$\frac{1}{9}$$

标准答案：D

5. 对单正态总体 $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$，$$\sigma^2$$已知时，关于均值 $$\mu$$ 的假设检验应采用()。

A. F检验法

B. z检验法

C. U检验法

D. $$\chi^2$$检验法

标准答案：C

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

6. 设A,B均为 n 阶矩阵，则 $$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$$ 成立的充分必要条件是__________。

$$AB=BA$$标准答案：

7. 设非齐次线性方程组 $$AX=B$$ 的一般解中自由元的个数是3，其中A是4×5矩阵，则方程组的增广矩阵的秩 $$r([A \vdots B])=$$__________。

标准答案：2

8. 设 A , B 是两个随机事件，且 $$P(B) \neq 0$$，则称 $$P(A|B)$$ 为事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的__________。

标准答案：条件概率

9. 设随机变量 $$X \sim \begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 \\ 0.3 & 0.2 & 0.5\end{bmatrix}$$，则 $$E(X)=$$__________。

标准答案：0.2

10. 已知 $$D(X)=2$$，则 $$D(-2X+1)=$$__________。

标准答案：8

三、计算题（本题共4小题，每小题16分，共64分）

11. 已知矩阵方程 $$AX-X=B$$，其中 $$A=\begin{bmatrix}4 & 5 \\ 5 & 9\end{bmatrix}$$，$$B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$$，求解矩阵 $$X$$。

参考答案：

解：整理矩阵方程得：$$(A-I)X=B$$

其中单位矩阵 $$I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$，计算得：

$$A-I=\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$$

对增广矩阵做初等行变换求逆：

$$[A-I \vdots I]=\begin{bmatrix}3 & 5 & 1 & 0 \\ 5 & 8 & 0 & 1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & -8 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & -3\end{bmatrix}$$

可得逆矩阵：$$(A-I)^{-1}=\begin{bmatrix}-8 & 5 \\ 5 & -3\end{bmatrix}$$

矩阵乘法求解X：

$$X=(A-I)^{-1}B=\begin{bmatrix}-8 & 5 \\ 5 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 & 4 \\ -4 & -2\end{bmatrix}$$

最终结果：$$X=\begin{bmatrix}7 & 4 \\ -4 & -2\end{bmatrix}$$

12. 求齐次线性方程组 $$\begin{cases} x_1-x_2+3x_3-x_4=0 \\ 2x_1-x_2-x_3+4x_4=0 \\ x_1-4x_2+5x_4=0 \end{cases}$$ 的通解。

参考答案：

解：对系数矩阵做初等行变换化为行最简形：

$$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & -4 & 5\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & -7 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

写出方程组一般解：

$$\begin{cases} x_1=4x_3-5x_4 \\ x_2=7x_3-6x_4 \end{cases}$$（$$x_3,x_4$$ 为自由未知量）

取 $$x_3=1,x_4=0$$，得解向量 $$X_1=\begin{bmatrix}4 \\ 7 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$$

取 $$x_3=0,x_4=1$$，得解向量 $$X_2=\begin{bmatrix}-5 \\ -6 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

基础解系为 $$X_1,X_2$$，方程组通解为：

$$X=k_1X_1+k_2X_2$$（$$k_1,k_2$$ 为任意常数）

13. 设 $$X \sim N(3,4)$$，试求：(1) $$P(5；(2) $$P(X>7)$$。（已知 $$\Phi(1)=0.8413，\Phi(2)=0.9772，\Phi(3)=0.9987$$）

参考答案：

解：由 $$X \sim N(3,4)$$，得 $$\mu=3,\sigma=2$$，标准化变换 $$Z=\frac{X-3}{2} \sim N(0,1)$$

(1) $$P(5

$$=\Phi(3)-\Phi(1)=0.9987-0.8413=0.1574$$

(2) $$P(X>7)=P\left(Z>\frac{7-3}{2}\right)=P(Z>2)$$

$$=1-\Phi(2)=1-0.9772=0.0228$$

14. 据资料分析，某厂生产的砖的抗断强度$$X$$ 服从正态分布 $$N(32.5,1.21)$$。今从该厂最近生产的一批砖中随机抽取9块，测得抗断强度平均值为31.18。假设标准差不变，在0.05的显著性水平下，检验这批砖的抗断强度是否合格。（$$u_{0.975}=1.96$$）

参考答案：

解：1. 设立假设：$$H_0: \mu=32.5$$（合格），$$H_1: \mu \neq 32.5$$（不合格）

2. 已知总体方差，选用U检验法，检验统计量：

$$U=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}$$

3. 代入数据：$$\bar{x}=31.18,\mu_0=32.5,\sigma_0=1.1,n=9$$

$$U=\frac{31.18-32.5}{1.1/\sqrt{9}}=-3.6$$

4. 显著性水平 $$\alpha=0.05$$，临界值 $$u_{0.975}=1.96$$

5. 判定：$$|U|=3.6>1.96$$，拒绝原假设 $$H_0$$

结论：在0.05显著性水平下，这批砖的抗断强度不合格。

四、证明题（本题6分）

15. 对任意方阵 A，试证 $$A+A'$$ 是对称矩阵。

参考答案：

证明：根据矩阵转置的运算性质：

$$(A+A')'=A'+(A')'$$

由转置性质 $$(A')'=A$$，代入得：

$$(A+A')'=A'+A=A+A'$$

根据对称矩阵定义：若矩阵转置等于自身，则为对称矩阵。

因此 $$A+A'$$ 是对称矩阵，原题得证。